Motivos para se estudar Sistemas de Partículas e Centro de Massa ¶
Um vídeo para ilustrar o que estamos dizendo.
Essa ciência pode ser aplicada em diversas áreas do conhecimento e tem uma relação estreita com aplicações cotidianas.¶
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- Cabe apenas uma resalva, em automobilismo, ciclística de motocicletas e outros sistemas automotivos, é comum usar o TERMO CENTRO de GRAVIDADE. Mas sempre que valer a aproximação de gravidade constante, o CM coincide com o Centro de Gravidade. Em problemas automotivos inclusive.
Definição formal do Centro de Massa:¶
Hipótese:
Pela segunda Lei de Newton.
$\vec{F}_{ext\;i}=m_i\;\vec{a}_i,$ então sobre o sistema, vale a soma das ações em cada uma das npartículas,
$$\vec{F}_{ext\;s}=\sum_{i=1}^n\;m_i\;\vec{a}_i$$Essa soma vetoria, se for diferente de zero, deve gerar uma aceleração resultante sobre o sistema, ao se definir que essa aceleração multipliaca pela massa total do sistema $(M_{cm})$ é igual a soma das contribuições individuais teremos.
$\vec{F}_{ext\;s}=M_{cm}\vec{a}_{s}=\sum_{i=1}^n\;m_i\;\vec{a_i}$, por sua vez, $\vec{a_i}=\frac{d\vec{v}_i}{dt}=\frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2}$;
Como as massas não variam com tempo, podemos incluir as massas dentro das derevadas temporais.
$\vec{F}_{ext\;s}=\frac{d^2\;M_{cm}\vec{r}_s}{dt^2}=\sum_{i=1}^n\;\frac{d^2\;m_{i}\vec{r}_i}{dt^2}$
Conclurímos que para nossas afirmações serem verdadeiras,
$$M_{cm}\vec{r}_s=\sum_{i=1}^n\;m_{i}\vec{r}_i$$Então dizemos que a represnta o sistema, é $\vec{r}_s=\vec{r}_{cm}$
$$\vec{r}_{cm}=\frac{\sum_{i=1}^n\;m_{i}\vec{r}_i}{M_{cm}}$$A hipótese só se torna verdadeira, para um formato específico de $\vec{r}_s$, que chamamos de posição do centro de massa.
Em termos de de coordenadas, cartesianas fica,
$$x_{cm}=\frac{\sum_{i=1}^n\;m_{i}\;x_i}{M_{cm}}\quad |\quad y_{cm}=\frac{\sum_{i=1}^n\;m_{i}\;y_i}{M_{cm}}$$Propriedades do movimento do Centro de Massa.:¶
- Centro de Massa é um ponto então tudo que foi estudado para o ponto, dinâmica e cinemática se aplica ao movimento do CM ( Viva!!!! .\(ᵔᵕᵔ)/).
- Em particular, o movimento do CM só pode variar na presença de forças externas. Ou seja, para um sistema isolado, $\frac{d\vec{P}_{cm}}{dt}=0\;\Rightarrow\; \vec{P}_{cm}=constante$
Corolários:
- Um sistema isolado, a velocidade do CM não varia. Pois se $\vec{P}_{cm}=M_{cm}\;v_{cm}=constante$, então, $v_{cm}=constante$
- Um sistema isolado, a Energia Cinética do CM não varia. Pois se $v_{cm}=constante$, então, $K_{cm}=\frac{1}{2}\;M_{cm}\;v^2_{cm}= constante$.
Isso tem uma relação inegável com colisões, afinal colisões são modeladas como sistemas isolados.
| Conceito \ Tipo de Colisão | |
Inelástica |
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|---|---|---|---|
| Energia Geral | |||
| Energia Mecânica | |||
| Momento Linear | |||
| Energia Mecânica do Centro de Massa |
Em qualquer tipo de colisão a Energia do Centro de Massa será conservada!! Vamos reinterpretar nossas colisões.
Comparando os Referenciais em uma colisão.¶
| Nesse referencial, tudo ocorre sem discriminação explicita, mas podemos reinterpretar os resultados a luz do que sabemos sobre o comportamento do CM. |
O centro de massa não é capaz de detectar o próprio movimento, portanto qualquer efeito que dependa da velocidade terá de sí subtraido a velocidade do centro de massa. Isso é particularmente interessante para detectar energias, pois no referencial do CM, a energia do próprio CM não é detectada, qualquer que seja a colisão. Então tudo que será revelado, diz respeito explicitamente a vizinhança do CM. |
Colisões Inelásticas Unidimensionais:¶
Consederemos 2 corpos de massa $m_1$ e $m_2$, com velocidades iniciais $v_1$ e $v_2$ conhecidas, nesse caso tanto faz se as partículas vão ao encontro uma da outra (colisão frontal) ou uma se aproxima por trás da outra (colisão traseira). Fato é que eles colidem e o máximo de energia é perdida.
Com qual velocidade do conjunto $v_{c}$, após a colisão? Qual a Energia que resta após a colisão?
Resposta: Então a velocidade do conjunto, após a colisão, será:
$$v_{c}=\frac{m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}}{m_1+m_2}=v_{cm}$$Prova:
Como $\vec{r}_{cm}=\frac{\sum_{i=1}^2\;m_{i}\vec{r}_i}{M_{cm}}$, derivando no tempo,
$$\vec{v}_{cm}=\frac{m_1\;\vec{v}_{1a}+m_2\;\vec{v}_{2a}}{M_{cm}}$$Imediatamente também encontramos que, $\vec{P}_{Sis}=m_1\;\vec{v}_{1a}+m_2\;\vec{v}_{2a}=M_{cm}\;\vec{v}_{cm}=\vec{P}_{cm}$
Resposta: A energia restante após a colisão, será:
$$K_{sd}=\frac{P_{Sis}^2}{2(m_1+m_2)}=K_{cm}=\frac{P_{cm}^2}{2(m_1+m_2)} $$Prova:
Comecemos com a energia cinética no sentido mais direto, $K_{cm}=\frac{1}{2}\;M_{cm}\;v^2_{cm}$, vamos substituir a velocidade do CM e a massa do CM, $v_{cm}=\frac{m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}}{m_1+m_2}$ e $M_{cm}=m_1+m_2$,
$$K_{cm}=\frac{1}{2}\;(m_1+m_2)\;\frac{(m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a})^2}{(m_1+m_2)^2}=\frac{1}{2}\;\frac{P_{cm}^2}{m_1+m_2}$$Reescrevendo o problema no referencial do Centro de Massa:¶
Comecemos por definir as velocidades dos objetos antes da colisão vistos no referencialdo centro de massa.
$$u_1=v_1-v_{cm}\quad e \quad u_2=v_2-v_{cm}$$Agora reescrevemos todos os resultados em termos de $u_i$ e depois substituimos $v_i$ para ver o que ocorre.
Velocida do conjunto:
$$v_{c}=\frac{m_1\;u_{1a}+m_2\;u_{2a}}{m_1+m_2}=\frac{m_1\;(v_1-v_{cm})+m_2\;(v_2-v_{cm})}{m_1+m_2}\Rightarrow$$$$v_{c}=\frac{m_1\;v_1+m_2\;v_2}{m_1+m_2}-v_{cm}=0$$Por extensão, $P_{Sis}=P_{cm}=0$, no referencial do Centro de Massa. E lembrando, essa quantidade é constante, antes e depois da colisão.
A Energia Restante após a colisão:
Também sai imediatamente,
$$K_{Sis a}=K_{cm}=0$$.
Até aqui só aconteceram coisas praticamente óbvias, onde está a vantagem então?¶
Demonstração:¶
Vamos simplesmente calcular a Energia Cinética antes da colisão, qualquer tipo de colisão, isso não é importante no momento. Mas vamos fazer essa conta no referencial do CM.
$K_{S\;a}=K_1+K_2$, e $K_1=\frac{1}{2}\;m_1\;u_1^2=\frac{1}{2}\;m_1\;(v_1-v_{cv})^2$, desenvolvendo o produto notável,
$K_1=\frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2-m_1\;v_1\;v_{cm}+\frac{1}{2}\;m_1\;v_{cm}^2$, o mesmo vale para a partícula 2, basta trocar o índice 1 por 2 nesse ultimo resultado.
Somando as energias sinéticas,
$$K_{S\;a}=$$$$\frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2-m_1\;v_1\;v_{cm}+\frac{1}{2}\;m_1\;v_{cm}^2+\frac{1}{2}\;m_2\;v_2^2-m_2\;v_2\;v_{cm}+\frac{1}{2}\;m_2\;v_{cm}^2$$Como $M_{cm}=m_1+m_2$,
$$K_{S\;a}= \frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2+\frac{1}{2}\;m_2\;v_2^2-(m_1\;v_1+m_2\;v_2)\;v_{cm}\frac{M_{cm}}{M_{cm}}+\frac{1}{2}\;M_{cm}\;v_{cm}^2$$$$K_{S\;a}=\frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2+\frac{1}{2}\;m_2\;v_2^2-\frac{1}{2}\;M_{cm}\;v_{cm}^2$$Ok isso era esperado, mas não é o que queremos, vamos usar o valor de $v_{cm}$.
$$K_{S\;a}=\frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2+\frac{1}{2}\;m_2\;v_2^2-\frac{1}{2}\;M_{cm}\;\frac{(m_1\;v_1+m_2\;v_2)^2}{M_{cm}^2}$$ $$K_{S\;a}=\frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2+\frac{1}{2}\;m_2\;v_2^2-\frac{1}{2}\;\frac{(m_1^2\;v_1^2+2\;m_1\;m2\;v_1\;v2+m_2^2\;v_2^2)}{M_{cm}}$$Reorganizando:
$$K_{S\;a}=\frac{1}{2}\;m_1\;v_1^2\;(1-\frac{m_1}{m_1+m_2})+\frac{1}{2}\;m_2\;v_2^2\;(1-\frac{m_2}{m_1+m_2})-\frac{m_1\;m_2}{m_1+m_2}\;v_1\;v_2$$Note, $(1-\frac{m_1}{m_1+m_2})=\frac{m_2}{m_1+m_2}$ e $(1-\frac{m_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1}{m_1+m_2}$
Assim,
$$K_{S\;a}=\frac{1}{2}\frac{\;m_1\;m_2}{m_1+m_2}\;(v_1^2+v_2^2)-\frac{\;m_1\;m_2}{m_1+m_2}\;v_1\;v_2$$O termo $\frac{\;m_1\;m_2}{m_1+m_2}=m_R$, chamado de massa reduzida do sistema.
A quantidade $v_R=v_1-v_2$ é a Velocidade Relativa entre os corpos, como ela vai ao quadrado, tanto faz a ordem, pois o sinal é neutralizado ao se elevar ao quadrado.
Além disso, a velocidade relativa é conservada sob a mudança de sistemas de coordenadas.
Veja como exemplo, a velocidade relativa das partículas no referencial do CM.
$u_1-u_2=(v_1-v_{cm})-(v_2-v_{cm})=v_1-v_2$
Resposta: A Energia disponível no sistema é
$$K_{S\;a}=\frac{1}{2}m_R\;v_R^2\quad,$$Repensando a Energia Depois da Colisão em termos da Energia Disponível:¶
Vamos definir um fator multiplicativo $C_R$, chamado de coeficiente de restituição. $C_R=1$ para colisões elástica, $C_R=0$ para colisões perfeitamente inelásticas e se estiver entre esses valores, teremos uma colisão parcialmente inelástica.
$$K_{S\;d}=C_R^2\;K_{S\;a}$$| Conceito \ Tipo de Colisão | |
Inelástica |
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|---|---|---|---|
| Energia Geral | |||
| Energia Mecânica | |||
| Momento Linear | |||
| Energia Mecânica do Centro de Massa | |||
| Coeficiente de Restituição |
Exemplo 1 - Atravessando um balístico:¶
Fonte dos dados: .45 ACP Militares FMJ 15 g (230 gr) 261 m/s (855 pés/s) 506 J (373 ft.lb)
Soluções:¶
# O que sabemos:
m1=15/1000. #Massa do projétil em kg.
m2=2 # Massa do pêndulo em kg.
h = 15/100. # Altura que o pêndulo sobe em m.
v1d=100 # Velocidade do projétil ao emergir do bloco.
g=10 # Aceleração da gravidade.
Em a) Desejamos saber:
A Energia do Bloco após a colisão = $K_i$ =?.
Situação: Claramente estamos com um problema de colisão parcialmente inelástica. E um problema de pêndulo balístico.
Esse problema é separável em 2 etapas, a etapa de energia está relacionada ao movimento de subida do bloco.
Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica:
$$\Delta E_s=\Delta K+\Delta U=0 \Rightarrow \Delta K=-\Delta U $$Nesse problema $K_f=0$, pois a velocidade do bloco é momentaneamente zero no ponto mais elevado da trajetória. E podemos estabelecer a referência da energia potencial no ponto mais baixo da trajetória.
Logo, $K_i=m_{2}\;g\;h$
Ki=(m2*g*h)
print('Resposta:\n Energia mecânica do Bloco após a colisão:', np.round(Ki,2),' J')
Em b) Desejamos saber: A velocidade da bala antes da colisão = $v_{1a}$ = ?
Usando Conservação do Momento
$$m_1\;v_{1a}=m_1\;v_{1d}+m_2\;v_{2d}\;\Rightarrow\; v_{1a}=v_{1d}+\frac{m_2}{m_1}\;v_{2d}$$Usando Conservação da Energia só na parte em que o bloco sobe,
$$\frac{1}{2}\;m_2\;v_{2d}^2=m_2\;g\;h \;\Rightarrow\; v_{2d}= \sqrt{2\;g\;h}$$Substitituindo,
$$v_{1a}=v_{1d}+\frac{m_2}{m_1}\;v_{2d}=v_{1d}+\frac{m_2}{m_1}\;\sqrt{2\;g\;h}$$Usando os valores numéricos teremos,
v1a=(v1d+m2/m1*np.sqrt(g*h))
print('Resposta:\n Velocidade na saída do cano da arma:', np.round(v1a,2),' m/s')
print('Resposta:\n Valor do fabricante: 261 m/s')
#Bônus
Esa=15*v1a**2/2000
print('Resposta:\n Energia cinética do projétil ao sair da arma:', np.round(Esa,2),' J')
print('Resposta:\n Valor do fabricante: 506 J')
Em c) Desejamos saber: O coeficiente de restituição = $C_{R}$ = ?
Usando a definição de $C_R$ em termos de velocidade relativas
$$C_R=\frac{|V_{R\;d}|}{|V_{R\;a}|}$$Substitituindo,
$$C_R=\frac{|v_{1d}-v_{1d}-\frac{m_2}{m_1}\;\sqrt{2\;g\;h}|}{|v_{1a}|}=\frac{1}{v_{1a}}\frac{m_2}{m_1}\;\sqrt{2\;g\;h}$$Usando os valores numéricos teremos,
CR=np.sqrt(g*h)*m2/(m1*v1a)
print('Resposta:\n Coeficiente de Restituição:', np.round(CR,2))
Em d) Desejamos:
A Energia Energia perdida = $K_p$ = ?.
A energia perdida, é a diferença entre a energia disponível e a energia que sobra após a colisão. Isso é mais facil de calcular no referencial do CM. $K_p=K_{S\;a}-K_{S\;d}$.
A energia disponível é $K_{S\;a}=\frac{1}{2}m_R\;V_R^2$ , que é a energia calculada antes da colisão no referencial do CM.
Energia mecânica depois da colisão no referencial do CM.
$$K_{S\;d}=C_R^2\;K_{S\;a}=\frac{C_R^2}{2}m_R\;V_R^2$$Juntando as informaçõe acima e o que já encontramos nos outros itens,
$$K_{p}=\frac{(1-C_R^2)}{2}\;\frac{m_1\;m_2}{m_1+m_2}\;v_{1a}^2$$Ksd=(0.5*(1-CR**2))*(m1*m2/(m1+m2))*v1a**2
print('Resposta:\n Energia Perdida :', np.round(Ksd,2),' J')
A Energia Perdida, assim como a Velocidade Relativa, é independente de estar ou não no referencial do CM.
$K_p=K_{S\;a}-K_{S\;d}=(K_{S\;a}+K_{cm})-(K_{S\;d}+K_{cm})=K'_{S\;a}-K'_{S\;d}$
Onde os $K$' se referem as energias cinéticas no referencial do laboratório.
Continuamos com cálculo do CM e sistemas de partículas na próxima aula!
Obrigado a todos pela presença:¶